Funcions polinòmiques i racionals

Al Fòrum/Wiki del GeoGebra, o buscant altres pàgines amb activitats del GeoGebra, podeu trobar exemples ben interessants per a l'estudi de funcions que us poden ajudar molt.

Ara bé, en aquesta pràctica es donen algunes idees per treballar les funcions polinòmiques (en concret, per fer visual la influència de la multiplicitat de les arrels) i per estudiar les funcions racionals amb la visualització de les asímptotes.

En l'activitat següent (que, com ja sabeu, podeu veure en una finestra completa si hi feu un doble clic a sobre) s'estudia una funció polinòmica amb una, dues o tres arrels, de les quals es pot fixar la multiplicitat. També es pot fer que el signe del terme de grau més gran sigui positiu o negatiu.

Aneu experimentant; varieu els valors i les multiplicitats i observeu què passa.

• Amb tres punts lliscants podeu donar els valors que vulgueu a les arrels, a, b, c. Està previst que només puguin prendre valors enters per centrar així l'atenció en les idees didàctiques més que no pas en "la calculística".
• Amb uns altres tres punts lliscants, m_a, m_b, m_c podeu establir les respectives multiplicitats (amb el benentès que si poseu multiplicitat 0 aquella arrel no apareixerà).
• Finalment teniu el punt lliscant S que permet establir signe 1 o -1 per al terme de grau més gran del polinomi.
• En moltes ocasions, per a la correcta visualització de la funció, convindrà canviar la graduació dels eixos. En l'exemple que teniu a continuació. s'ha posat Eix x:Eix y = 1:10.

Per elaborar aquesta activitat tal com s'ha presentat:

• Obriu un fitxer nou del GeoGebra.
• Com ho feu habitualment, definiu tres punts lliscants, que rebran els noms de a, b, c. Accediu a les Propietats i feu que l'increment sigui 1.
• Situeu-los en el lloc de la zona gràfica que cregueu convenient i amb l'eina Inserir text podeu posar el rètol Arrels. Ja sabeu que podeu canviar-ne els aspectes de presentació amb les Propietats.
• Definiu tres nous punts lliscants. Accediu a les Propietats i feu que l'interval de variació de cadascun d'ells sigui de 0 a 6 i que l'increment sigui 1. Doneu-los els noms de m_a, m_b, m_c que ja veureu escrits en pantalla com m_a, m_b, m_c.
• Situeu-los on us sembli oportú i creeu el rètol Multiplicitats.
• Finalment, definiu encara un altre punt lliscant al qual donareu el nom de s. En aquest cas feu que l'interval de variació sigui de -1 a 1 i l'increment, 2. Així, s només podrà prendre els valors 1 i -1.
• Definiu, a la finestra d'entrada de comandes i funcions
  f(x) = s*(x-a)^m_a*(x-b)^m_b*(x-c)^m_c
  …i ja podreu anar experimentant.
• Per visualitzar l'expressió factoritzada de la funció heu de generar un text que sigui "f(x) = " + f, per al qual establireu les propietats tipogràfiques que us semblin oportunes. ¹⁾

Per dibuixar la gràfica d'una funció racional (com per dibuixar la gràfica de qualsevol altra funció), només cal definir-la a la finestra d'entrada de comandes. D'aquesta manera (combinant-ho de vegades necessàriament amb una correcta adequació de les graduacions dels eixos) ja tenim una idea molt clara de la gràfica de la corba.

Tanmateix no es visualitzen les asímptotes. Si voleu dibuixar-les heu de definir per separat el numerador i el denominador, com es fa en la finestra següent.

A continuació s'explica com es pot elaborar aquesta activitat preparant-la per visualitzar fins a 4 asímptotes verticals.

• Definiu, per exemple, la funció que serà, provisionalment, el denominador: den(x)=x*(x-1)*(x+1)*(x-2). ²⁾
• Podeu fer que no es mostri la gràfica de la funció.
• Calculeu-ne les arrels amb la comanda M = Arrel[den]. Veureu que els punts que representen les arrels han quedat designats com M₁, M₂, M₃, M₄. Tot seguit podeu seleccionar alhora, a la finestra algebraica, els quatre punts, amb el botó dret accedir a Propietats i fer que no es mostrin els punts.
• Entreu ara a la finestra de comandes i funcions, successivament x=x(M_1), x=x(M_2), x=x(M_3), x=x(M_4), i quedaran dibuixades quatre rectes verticals que rebran els noms de a, b, c, d. Seleccioneu ara a la finestra algebraica les quatre rectes indicades, de manera que també quedin seleccionades alhora, cliqueu amb el botó dret i accediu a Propietats i aleshores doneu-los color vermell i feu que l'estil de recta sigui de punts o segments.
• Ara ja podeu accedir a den(x) i redefinir la funció amb el denominador que us interessi.
• Definiu també la funció numerador, num(x), que us interessi. Feu que no es mostri la gràfica d'aquesta funció.
• Definiu, finalment, f(x)=num(x)/den(x)

Podeu veure que si aneu canviant a la finestra algebraica les funcions numerador i denominador, es mostra la funció racional amb les seves asímptotes, amb aquestes consideracions:

• Si la funció denominador té més de quatre arrels diferents, alguna de les possibles asímptotes no es mostrarà. En canvi, si té tres, dues, una, o cap possible asímptota sí que el funcionament serà correcte.
• Si la funció té alguna discontinuïtat evitable, diguem que "incorrectament", també es mostrarà la recta vertical com a possible asímptota.

En relació amb aquesta darrera observació, convé fer uns comentaris conceptuals:

• Molts calculadors simbòlics tenen "el bon costum", quan se'ls introdueix una funció racional, de començar-hi el treball simplificant-la al màxim. Quan s'ha fet això, ja no hi ha discontinuïtats evitables! És a dir, la millor manera d'evitar les discontinuïtats evitables és simplificar la funció.
• Si en el gràfic d'una línia contínua hi falta només un punt… això no es pot apreciar a simple vista, en un primer cop d'ull. Però el GeoGebra ens ajuda, si hi parem atenció, a explicar bé què és una discontinuïtat evitable, que és més que una discontinuïtat una "quasi-continuïtat".

Cliqueu aquí per veure'n un exemple